狭义相对论
仅适用于惯性系。
Lorentz 变换
设 \(S, S'\) 系下同一件事的时空坐标分别是 \((x, y, z, t), (x', y', z', t')\)。\(S'\) 系相对 \(S\) 系有 \(\vec u\) 的速度。
例：\(t=t'=0\)，\(O, O'\) 重合时，原点处发出一束闪光，事件定义为接收到闪光的波前。由光速不变我们知道
\[ \begin{aligned} S': x'^2+y'^2+z'^2 &= c^2t'^2 \\ S: x^2+y^2+z^2 &= c^2t^2 \end{aligned} \]
不妨令 \(y'=z'=y=z=0, x'>0, x>0\)，有 \(x'=ct', x=ct\)。
当 \(u = o(c)\)，熟知 Galilean 变换
\[ \begin{aligned} x' &= x-ut \\ x &= x'+ut' \end{aligned} \]
若不满足 \(u = o(c)\)，Galilean 变换失效，接下来我们待定出 Lorentz 变换的形式。按照线性变换，设
\[ \begin{aligned} x' &= \gamma'(x-ut) \\ x &= \gamma(x'+ut') \end{aligned} \]
此处蕴含了 \(u=o(c)\) 时 \(\gamma'\to 1, \gamma \to 1\)。
由相对性原理，我们断言
\[ \gamma' = \gamma \]
因此有
\[ \begin{aligned} x' &= \gamma(x-ut) \\ x &= \gamma(x'+ut') \end{aligned} \]
接下来我们利用上述例子中的 \(x'=ct', x=ct\) 进行迭代
\[ \begin{aligned} x &= \gamma(x'+ut') \\ &= \gamma\left(x'+\frac ucx'\right) \\ &= \gamma\left(1+\frac uc\right) x' \\ &= \gamma^2\left(1+\frac uc\right) (x-ut) \\ &= \gamma^2\left(1+\frac uc\right)\left(1-\frac uc\right) x \\ &= \gamma^2\left(1-\frac{u^2}{c^2}\right) x \\ \end{aligned} \]
根据 \(\gamma\to 1\)，我们得到
\[ \gamma = \frac1{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}} \]
同理可以解出
\[ t'=\gamma\left(t-\frac{u}{c^2}x\right) \]
记 \(\beta=\frac uc, \gamma=\frac1{\sqrt{1-\beta^2}}\)，Lorentz 变换可写作
\[ \begin{cases} x' = \gamma(x-\beta ct) \\ y' = y \\ z' = z \\ t' = \gamma\left(t-\frac{\beta}c x\right) \end{cases} \]
或相对地，
\[ \begin{cases} x = \gamma(x'+\beta ct') \\ y = y' \\ z = z' \\ t = \gamma\left(t'+\frac{\beta}c x'\right) \end{cases} \]
同时性的相对性
设 \(S'\) 系中在 \(t'\) 时有两个时间分别发生在 \(x_1', x_2'\)，则它们在 \(S\) 系中发生的时空位置 \((x_1, t_1), (x_2, t_2)\) 如何？是否有 \(t_1=t_2\)？
由
\[ t_1=\gamma(t'+x_1'u/c^2), t_2=\gamma(t'+x_2'u/c^2) \]
有
\[ t_2-t_1 = \gamma(x_2'-x_1')u/c^2 > 0 \]
即 \(x_1\) 处先发生，\(x_2\) 处后发生。
沿两个惯性系相对运动的方向配置的两个事件，若在一个惯性系中这两个事件同时发生，则在另一惯性系中观测，总是处于前一个惯性系运动后方的事件先发生。
时间延缓效应
在相对观察者静止的惯性系中，同一地点先后发生的两个事件的时间间隔称为原时，或同地时，用 \(\Delta t'\) 代表。
在另一相对观察者运动的惯性系中观测的这两个事件的时间间隔，称为测时，用 \(\Delta t\) 代表。
由 Lorentz 变换，有
\[ \Delta t = \gamma\left(\Delta t' + \frac{\beta}c(x'-x')\right) = \gamma\Delta t' > \Delta t' \]
即
\[ \Delta t = \gamma\Delta t' = \frac{\Delta t'}{\sqrt{1-u^2/c^2}} \]
在一个惯性系中观测，另一个做匀速直线运动的惯性系中同地发生的两个事件的时间间隔变大。这称为时间延缓效应。
长度收缩效应
在 \(S\) 系中运动杆 \(AB\) 的长度，是同时测量杆的 \(A\) 端和 \(B\) 端的位置 \(x_1\) 和 \(x_2\)，并由下式给出
\[ \Delta l = x_2-x_1 \]
我们引入测长的概念：同时发生的两个事件的空间位置间的距离。
例如 \(S\) 系中运动杆的长度即是测长。
相对地，有原长的概念：与测长对应的量时间在另一参考系中的空间位置的距离。
例如 \(S'\) 系中静止杆的长度是原长。
于是由 Lorentz 变换
\[ \Delta l' = \gamma(\Delta l - u\Delta t) = \gamma \Delta l > \Delta l \]
即
\[ \Delta l = \Delta l'/\gamma = \Delta l'\sqrt{1-u^2/c^2} < \Delta l' \]
原长最长，测长比原长短—长度收缩效应
例：双生子佯谬
一个飞船从地球出发，以 \(0.8c\) 的速率前往 \(8\) 光年外的天体，抵达后以等大的速率返程。分别有三个参考系：地球 \(K\)，去时飞船 \(K'\)，回时飞船 \(K''\)。在地球、天体、飞船上均有时钟。问：飞船起飞，到达天体，返回地球，在宇航员所在参考系中，三时刻对应的所有钟的读数。
首先 \(u=0.8c, \gamma = \frac1{\sqrt{1-u^2/c^2}} = \frac 53\)。
起飞时，\(t_{earth} = t' = 0\)。考虑 \(t_{target}\)。由于我们已知 \(t'=0, x=8c\)，故可列 \(t'=\gamma(t_{target}-x\beta/c)\)，解得 \(t_{target}=6.4\)。也可以借助长度收缩效应的结论得到 \(x'=x/\gamma=4.8c\) 后计算。
到达天体时：在 \(K\) 系中观察可得 \(t=x/u=10\)，在 \(K'\) 系中观察可得 \(t'=x'/u=6\)，也可以验证 \(t'=\gamma(t-x\beta/c)\)。而在 \(K'\) 系中观察地球上的钟有 \(t_{earth}=\gamma(t'+(-x')\beta/c)=3.6\)。同时显然 \(t_{target}=t=10\)。
返回的过程是对称的。此时 \(t'=12, t=t_{earth}=20, t_{target}=13.6\)。
因果性的绝对性
有因果（有信息联系，\(v_s \le c\)）的两个事件发生的先后次序（因果性）是绝对的。
\[ \begin{aligned} t_1-t_2 &= \gamma\left[\left(t_1'-t_2'\right)+\frac u{c^2}\left(x_1'-x_2'\right)\right] \\ &= \gamma\left(t_1'-t_2'\right)\left(1-\frac u{c^2}\frac{x_2'-x_1'}{t_1'-t_2'}\right) \\ &= \gamma\left(t_1'-t_2'\right)\left(1-\frac u{c^2}v_s\right) \\ \end{aligned} \]
洛伦兹协变矢量
\[ \begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \\ ict' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \gamma & & & i\beta \gamma \\ & 1 & & & \\ & & 1 & & \\ -i\beta\gamma & & & \gamma \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ ict \end{pmatrix} \]
容易验证此为正交变换，故
\[ x^2+y^2+z^2-c^2t^2 = x'^2+y'^2+z'^2-c^2t'^2 \]
事件的“间隔”
两个事件 \((x_1, y_1, z_1, ict_1), (x_2, y_2, z_2, ict_2)\) 的间隔定义为
\[ \begin{aligned} \Delta S^2 &= -[(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2+(z_1-z_2)^2+(ict_1-ict_2)^2] \\ &= c^2\Delta t^2 - \Delta r^2 \end{aligned} \]
同理，两个事件的“间隔”（向量差）也有此不变量。例如：
同地相机发生的两事件的间隔：\(\Delta S^2 = c^2\Delta\tau^2\)。
异地同时发生的两事件的间隔：\(\Delta S^2 = -\Delta r^2\)。
用光信号联系的两事件的间隔：\(\Delta S^2 = 0\)。
相对论速度变换
对 Lorentz 变换两侧求导后相除即可。具体结果略。
若 \(v_y=v_z=v_y'=v_z'=0\)，有
\[ v'=\frac{v-u}{1-\frac{uv}{c^2}}, v=\frac{v'+u}{1+\frac{uv}{c^2}} \]
四维动量
在 \(S\) 系中，\(\gamma_0=\frac1{\sqrt{1-v^2/c^2}}\)，\(\mathrm d\tau = \frac{\mathrm dt}{\gamma_0}\)，其中 \(\tau\) 为原时。
而
\[ \begin{aligned} \begin{pmatrix} \vec p \\ p_4 \end{pmatrix} &= m_0\frac{\mathrm d}{\mathrm d\tau}\begin{pmatrix}\vec r\\ ict\end{pmatrix} \\ &= \gamma_0 m_0 \frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \begin{pmatrix}\vec r\\ ict\end{pmatrix} \\ &= \gamma_0 m_0 \begin{pmatrix}\vec v\\ ic\end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix}m\vec v\\ icm\end{pmatrix} \\ \end{aligned} \]
取定 \(m=\gamma_0m_0\) 即得 \(\vec p=m\vec v\)。
质能关系
考虑不变量
\[ \begin{aligned} \vec p^2 + p_4^2 = 0+p_4'^2 &= (icm_0)^2 \\ &= -m_0^2c^2 \\ 2\vec p\cdot \frac{\mathrm d\vec p}{\mathrm dt} + 2p_4\frac{\mathrm dp_4}{\mathrm dt} &= 0 \\ \frac{\mathrm dp_4}{\mathrm dt} &= -\frac1{p_4} \vec p\cdot \frac{\mathrm d\vec p}{\mathrm dt} \\ &= -\frac1{p_4} m\vec v\cdot \vec F \\ &= -\frac m{p_4} \frac{\mathrm d E}{\mathrm dt} \\ \mathrm dp_4 &= i\frac{\mathrm dE}c \\ p_4 &= \frac{iE}c \end{aligned} \]
于是同时我们得到质能方程 \(E=mc^2\)。称 \(m_0c^2\) 为粒子的静能量。
能量-动量关系
由不变量 \(p^2-\frac{E^2}{c^2} = -m_0^2c^2\)，得能量-动量关系：
\[ E^2 = p^2c^2 + m_0^2 c^4 \]
一些例子：
静质量为零的粒子以光速运动：\(E^2=p^2c^2+0, E=pc=mvc=mc^2 \implies v=c\)。
光子的动量和质量：\(p=\frac Ec=\frac{h\nu}c, m=\frac{h\nu}{c^2}\)。
相对论动能
\[ \begin{aligned} E_k &= mc^2-m_0c^2 \\ &= m_0c^2\left(\frac1{\sqrt{1-v^2/c^2}}-1\right) \end{aligned} \]
或改写为
\[ v^2 = \left(1-\left(1+\frac{E_k}{m_0c^2}\right)^{-2}\right)c^2 \approx \left(1-\left(1-\frac{2E_k}{m_0c^2}\right)\right)c^2 = \frac{2E_k}{m_0} \]
动量和能量的相对论变换
\[ \begin{aligned} p_x' &= \gamma\left(p_x-\frac{\beta}cE\right) \\ p_y' &= p_y \\ p_z' &= p_z \\ E' &= \gamma(E-\beta cp_x) \end{aligned} \]
四维力和三维力的关系
\[ \begin{pmatrix}\vec f\\ f_4\end{pmatrix} = \gamma_0\begin{pmatrix}\vec F \\ \frac ic \vec v\cdot \vec F\end{pmatrix} \]
相对论粒子动力学方程
\[ \begin{aligned} \vec F &= \frac{\mathrm d\vec p}{\mathrm dt} \\ \vec v \cdot \vec F &= \frac{\mathrm dE}{\mathrm dt} = \frac{\mathrm dE_k}{\mathrm dt} \end{aligned} \]
三维力与加速度的关系
\[ \begin{aligned} \vec F &= \vec F_n + \vec F_t \\ F_n &= ma_n = \frac{m_0}{\sqrt{1-v^2/c^2}} a_n \\ F_t &= \frac{m_0}{(1-v^2/c^2)^{3/2}} a_t \end{aligned} \]
还可写作
\[ \vec F = m\vec a+\frac{\vec v\cdot\vec F}{c^2}\vec v \]
四维动量守恒
若粒子受合外力 \(\vec F=0\)，则四维动量 \((\vec p, p_4)^T\) 不随时间变化，即动量 \(\vec p\) 与能量 \(E\) 守恒。
进一步，实验表明：
对于不受外界影响的多粒子体系所经历的过程(包括不能用力的概念描述的过程，例如衰变、裂变、产生新粒子等)，体系的四维动量守恒。或者说，体系的总动量和总能量守恒。
不变量的应用
对四维动量同样可以应用不变量。
例
高能粒子碰撞中的资用能：可以用于粒子转化的能量。对于
\[ A_1 + A_2 \to B \]
设加速粒子的动能为 \(E_k\)（\(>>mc^2\)，粒子的静能），求靶静止和对撞时的资用能。
靶静止情况：
碰撞前：\(E=E_k+2mc^2, p^2c^2=(E_k+mc^2)^2-m^2c^4=E_k(E_k+2mc^2)\)。
碰撞后：\(E'=\sqrt{p'^2c^2+M'^2c^4}\)。
动量、能量守恒：\(p=p', E=E'\)。
得到资用能
\[ M'c^2 = \sqrt{2mc^2(E_k+2mc^2)} \approx \sqrt{2mc^2E_k} \]
对撞情况：
资用能：
\[ M'c^2 = 2E_k + 2mc^2 \approx 2E_k \]
三维力的相对论变换
三维力在 \(S\) 系与 \(S'\) 系之间的变换关系（\(u\) 为参考系相对速度，\(v_x\) 为粒子速度分量）:
\[ \begin{pmatrix} F'_x \\ F'_y \\ F'_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{F_x - \frac{u}{c^2}(\vec{F} \cdot \vec{v})}{1 - \frac{uv_x}{c^2}} \\ \frac{F_y}{\gamma (1 - \frac{uv_x}{c^2})} \\ \frac{F_z}{\gamma (1 - \frac{uv_x}{c^2})} \end{pmatrix} \]
力学
矢量三重积
\[ \vec A\times(\vec B\times\vec C)=\vec B(\vec A\cdot\vec C)-\vec C(\vec A\cdot\vec B) \]
平面极坐标
\[ \begin{aligned} \dot{\hat{r}} &= \dot{\theta}\hat{\theta} \\ \dot{\hat{\theta}} &= -\dot{\theta}\hat{r} \\ \vec r &= r \hat r \\ \vec v &= \vec v_r + \vec v_{\theta} \\ \vec v_r &= \dot{r}\hat r \\ \vec v_{\theta} &= r\dot{\theta}\hat{\theta} \\ \vec a &= (\ddot{r}-r\dot{\theta}^2)\hat r + (2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta})\hat{\theta} \end{aligned} \]
自然坐标系
\[ \vec a = \frac{\mathrm dv}{\mathrm dt} \hat{e}_t + \frac{v^2}{\rho}\hat{e}_n \]
其中 \(\rho\) 为曲率半径。
Coriolis 加速度与 Coriolis 力
设盘 \(S'\) 相对惯性系 \(S\) 匀速转动。
\[ \frac{\mathrm d\vec G}{\mathrm dt} = \frac{\mathrm d^*\vec G}{\mathrm dt} + \vec{\omega} \times \vec G \]
其中两个算子分别是在 \(S\) 系，\(S'\) 系中进行求导。
于是有
\[ \begin{aligned} \vec v &= \vec v' + \vec\omega \times \vec r \\ \vec a &= \vec a' - \omega^2\vec r + 2\vec\omega\times\vec v' \end{aligned} \]
用惯性力的视角来看，存在惯性离心力和 Coriolis 力
\[ \vec F_c = -2m\vec\omega\times \vec v' = 2m\vec v'\times\vec\omega \]
质心运动定理
\[ \vec F = \frac{\mathrm d\vec P}{\mathrm dt} = m\vec a_c \]
质心系
\[ \sum m_i\vec r_i' = \sum m_i\vec v_i' = 0 \]
质心系是“零动量系”。
质点的角动量
\[ \vec L = \vec r \times \vec p \]
质点的角动量定理
\[ \vec M = \vec r \times \vec F = \frac{\mathrm d\vec L}{\mathrm dt} \]
同理在 \(\vec M=0\) 时角动量守恒。
同理有质点系的角动量定理和角动量守恒定理。
质心系中的角动量
\[ \begin{aligned} \vec L &= \vec L_c + \vec L' \\ \vec M'_{\text{外}} &= \frac{\mathrm d\vec L'}{\mathrm dt} \end{aligned} \]
质点系动能（Konig 定理）
\[ E_k = E_{kc} + E_k' \]
一对力的功
听说这是 THU 特色。
\[ \mathrm dW_{\text{对}} = \vec f_2 \cdot \mathrm d\vec r_{21} \]
其中 \(\vec f_1 + \vec f_2 = 0, \vec r_{21} = \vec r_2 - \vec r_1\)。
保守力
保守力系统具有时间反演不变性。
球壳与质点的引力
对于球壳外的质点，等价于球壳的质量集中在球心。
对于球壳内的质点，等价于球壳质量对质点无作用。
即势能具有
\[ E_p = -G\frac{mM}{\max\{r,R\}} \]
的形式。
由势能求保守力
\[ \vec f_{\text{保}} = -\nabla E_p \]
趋向势能小处。
质心系中的功能原理
\[ W_{\text{外}}'+W_{\text{内非}}' = \Delta E' \]
两体问题
约化质量
\[ \mu = \frac{m_1m_2}{m_1+m_2} \]
资用能
\[ E_k = E_{kc} + E_k' = E_{kc} + \frac12 \mu v_r^2 \]
理想流体稳定流动时的伯努利方程
\[ \frac{p}{\rho g} + \frac{v^2}{2g} + h = \text{const} \]
刚体
定点转动
引入角速度矢量 \(\vec\omega\)，角加速度矢量 \(\vec\alpha = \frac{\mathrm d\vec\omega}{\mathrm dt}\)。
则
\[ \begin{aligned} \vec v &= \vec\omega \times \vec r_{\perp} = \vec\omega \times \vec r \\ \vec a &= \frac{\mathrm d\vec v}{\mathrm dt} = \vec\alpha \times \vec r + \vec \omega \times \vec v \end{aligned} \]
即加速度分为旋转加速度和向轴加速度。
定轴转动
\(\vec\omega,\vec\alpha\) 退化为 \(\omega,\alpha\)。
\[ \begin{aligned} v &= r_{\perp} \omega \\ a_t &= r_{\perp} \alpha \\ a_n &= r_{\perp} \omega^2 \end{aligned} \]
纯滚动与瞬心
纯滚动：接触点 \(Q\) 相对支撑面无滑动，\(v_Q = 0\)。以 \(Q\) 为基点，则刺客刚体运动相当于单纯转动。
瞬心：\(Q\) 称为瞬心。瞬时轴过 \(Q\)。
纯滚动特点：半径为 \(r\) 的圆周在平面上纯滚动，则 \(a_O = \alpha r, v_O = \omega r, \vec a_Q \perp \text{支撑平面}\)。
刚体的定轴转动定律
\[ \begin{aligned} J &= \sum \Delta m_i r_{i\perp}^2 \\ L &= J \cdot \omega \\ M_{\text{外}} &= J\alpha \end{aligned} \]
绕瞬时转轴的转动定理
轴对称刚体，绕瞬时转轴的转动定理：
\[ M_p = J_p \alpha \]
转动惯量
- 细圆环或圆筒：\(J_O = mR^2\)。
- 均匀圆盘或圆柱：\(J_C = \frac12 mR^2\)。
- 均匀细杆：\(J_C = \frac1{12} ml^2, J_A = \frac13 ml^2\)。
- 薄球壳：\(J_C = \frac23 mR^2\)。
- 球体：\(J_C = \frac25 mR^2\)。
力矩的功
\[ \mathrm dW = M\mathrm d\theta \]
定轴转动刚体的动能
\[ E_K = \frac12 J\omega^2 \]
刚体的动能
\[ E_K = \frac12 mv^2_c + \frac12 J_c \omega^2 \]
进动
\[ \Omega = \frac{M_{\text{外}}}{L\sin\theta} \]
需要 \(\Omega << \omega\)。