记录一些东西。不一定是原创。懒得画图了。
合法解法
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双曲线 E:x2−y24=1 的一个顶点在直线 l:y=x+1 上。已知点 T 在 l 上，且过点 T 恰好可作双曲线 E 的两条切线，设这两条切线的切点分别为 P 和 M。设直线 TP 和直线 TM 分别与直线 x=−1 交于点 Q 和点 N，证明：直线 PN 和直线 MQ 的交点的定直线上。
来源：武汉市 2025 届高三年级二月调研考试
假平移初涉。
设 P(x1−1,y1),Q(x2−1,y2)。由极线方程可知 PQ 过 (−1,−4)，从而 y1+4x1=y2+4x2，故 x1y2−x2y1=−4(x1−x2)。
同时易知 Q(−1,−4x1y1),N(−1,−4x2y2)。有
{lPN:(4x2+y1y2)(x+1)−x1y2y−4x1x2=0lMQ:(4x1+y1y2)(x+1)−x2y1y−4x1x2=0
相减构造对偶式即得直线 4(x2−x1)(x+1)−(x2y1−x1y2)y=0，即 y=x+1。
2
已知椭圆 C：x24+y2=1 的左顶点为 A。直线 l 与椭圆 C 交于 M,N 两点，点 P 为 △PMN 的外心。若点 P 在直线 x=−13 上，求点 A 到直线 l 的距离的取值范围。
来源：湖南省长沙市 2024-2025 学年高三上学期新高考适应性考试数学试题
这个题使用曲线系似乎会很方便，但我们可以通过圆的一般式打点擦边球（好像叫什么同解方程组）。
首先设 lMN:x=ty+n，与椭圆联立得 (t2+4)y2+2tny+n2−4=0。
接下来设 P(−13,p)，则由 A(−2,0) 可设 ⊙P:(x+13)2+(y−p)2=259+p2 即 x2+y2+23x−2py−83=0。此处可以分别用椭圆方程和直线方程消去 x 的二次和一次项来避免在二次项系数出现参数，得到 3y2+(2p−23t)y−23n−43=0。
由这两个方程相同，可得 t2+92n−5=0（我们不关心 p）。
然后考虑第一个方程的 Δ=16(t2−n2+4)>0，同时注意 n≠−2，可得 n∈(−6,−2)∪(−2,32)，从而 t2∈[0,14)∪(14,32)，易得距离 d=|n+2|√t2+1=29t2−14√t2+1=92√t2+1+225t2+1−30∈(0,289]。
3
在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C:x24+y2=1，B(1,0)。设与坐标轴不垂直的直线 l 交椭圆 C 于 M,N 两点，△MBN 是以 B 为直角顶点的等腰直角三角形，求出直线 l 的方程。
来源：浙江省绍兴市嵊州市 2023 届高三下学期 2 月学业质量调测数学试题
设 |BM|=|BN|=r，令 ∠xBM=θ，不妨设 ∠xBN=θ+π2。
则有 M(1+rcosθ,rsinθ),N(1−rsinθ,rcosθ)。
与椭圆联立得
{3r2cos2θ−2rcosθ−4r2+3=03r2sin2θ+2rsinθ−4r2+3=0
注意 l 不垂直于坐标轴，故 cosθ≠−sinθ，故 cosθ,−sinθ 是 t 的方程 3r2t2−2rt−4r2+3=0 的二根。令 t21+t22=1 可得 r2=1415。
代回方程，可得 42t2−2√210t−11=0。从而 cosθ−sinθ=√21021,cosθsinθ=1142，从而 cosθ+sinθ=±4√4221。
又由 M,N 坐标直接化简得 lMN:(sinθ−cosθ)x−(cosθ+sinθ)y+cosθ−sinθ+r=0，即 5x±4√5y−12=0。
如果 l 可以垂直于坐标轴，则此时仅知一根 t=±√22，单独讨论即可。
@DZT福州高中数学叶老师 亦提到另一种做法是先设点，通过 |BM|=|BN| 可以得到 M,N 中点的横坐标是定值（其实亦可以用点差法导出的斜率关系得到），再设斜率慢慢表达剩下的条件即可。视频中的做法是先用 |BM|=|BN|=√2dB−MN 得到表达 xM,xN 的二次方程，然后再使用弦长表达 |MN| 长度。
射影几何背景
1
已知双曲线 E:x23−y23=1，若经过定点 P(1,1) 的直线 l 与双曲线 E 交于 A,B 两点，经过点 A 斜率为 −2 的直线与 y=x−3 的交点为 T，求证：直线 BT 经过 x 轴上的定点。
来源：江苏省南京中华中学、南京师范大学附属中学江宁分校两校 2022-2023 学年高三下学期 3 月联考
注意到 P(1,1) 是 y=x−3 的极点，记 l 与 y=x−3 交于 S，则 A,B;P,S 成调和点列，则 TA,TB;TP,TS 成调和线束。
记 AT 方向上的无穷远点为 ∞，过 P 作 PR∥AT 交 y=x−3 于 R，记 BT∩PR=Q，则 ∞,Q;P,R 成调和点列，故 BT 恒过 PR 中点 Q(32,0)。
2
已知椭圆 E:x24+y2=1。椭圆 E 上有三点 G,S,T，直线 ST 过定点 C(2,2)，点 M 为 GS 中点且在直线 y=x 上，证明：直线 GT 与直线 y=x 的交点为定点。
来源：广东省广州市华南师范大学附属中学 2024 届高三下学期 5 月月考
过 T 作 RT∥GS 交 E 于另一点 R，则由点差法知 ST∩GR=C，SR,GT,OC 三线共点，且 GT 与 OC 的交点在 C 的极线上。因此此交点即 y=x 与 C 的极线 x+4y−2=0 的交点 (25,25)。
3
已知椭圆 E:x24+y23=1 的右焦点为 F(1,0)，过 F 的直线交椭圆于 A,B 两点，过 A,B 分别作 x 轴的垂线，垂足分别为 C,D，记直线 AD 与 BC 的交点为 P。证明：P 在定直线 l 上。
来源：金考卷百校联盟 2025 年高考预测卷（二）
记竖直方向上的无穷远点为 ∞，则 AC∩BD=∞。记 AB∩P∞=E，则由完全四边形的调和性，A,B;E,F 成调和点列，则 E 在 F 的极线上。
又由于 F 的极线应经过 ∞，故 E∞ 即 F 的极线，从而 P 在 F 的极线上。
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椭圆 x26+y22=1，相应于焦点 F(c,0) (c>0) 的准线 l 与 x 轴相交于点 A，过点 A 的直线与椭圆相交于 P,Q 两点。设 →AP=λ→AQ (λ>1)，过点 P 且平行于准线 l 的直线与椭圆交于另一点 M，证明 →FM=−λ→FQ。
来源：2004 年普通高等学校招生考试数学（理）试题（天津卷）
过 F 作垂直于 x 轴的线 l′，则 l′ 为 A 的极线，l 为 F 的极线。记 l′∩PQ=R，则 P,Q;R,A 成调和点列。
记 y 轴方向的无穷远点为 ∞，则 ∞P,∞Q;∞R,∞A 成调和线束，记 ∞R∩QM=F′，l∩QM=N，则 M,Q;F′,N 成调和点列，则 F′,N 调和共轭，由极线方程可知必有 F′ 与 F 重合。
接下来有 △PQM∼△AQN，易知原命题得证。
5
已知椭圆 C:x28+y22=1 过点 A(−2,−1)。直线 l:y=kx+m 与椭圆交于点 M,N，直线 AM,AN 分别交直线 x=−4 于点 P,Q，O 为坐标原点。若 |OP|=|OQ|，求证：直线 l 经过定点。
来源：北京市清华附中 2023 届高三下学期 2 月开学考
作 A′,N′ 分别为 A,N 关于 x 轴的对称点，则 A′,N′,P 三点共线。由椭圆内接完全四边形，P 与 AA′,MN′ 交点调和共轭。又由于 P 在 x=−4 上，故该交点为 (−2,0)。根据上一题，就有 MN 恒过 (−4,0)。
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已知椭圆 C:x24+y23=1，斜率为 1 的直线 l 与椭圆交于 A,B 两点，点 M(4,0)，直线 AM 与椭圆 C 交于点 A1，直线 AN 与椭圆交于点 B1，求证：直线 A1B1 恒过定点。
来源：知乎
做法来自 @予一人。
记 AB∩A1B1=P，易知其在 M 的极线 x=1 上。记 x=1 与 BB1 交于 Q，则 B,B1;Q,M 成调和点列，则 PB,PB1;PQ,PM 成调和线束。
过 M 作 AB 的平行线 MS 交 x=1 于 S，交 A1B1 于 T，记 AB 上的无穷远点为 ∞，则 ∞,T;S,M 成调和点列，故 A1B1 恒过 SM 中点 T(52,−32)。
7
设双曲线 Ω:x2−y2=1，M 为抛物线 Γ:x2=2y 上动点，定点 A(−√2,1),B(√2,1)，设 AM,BM 再交双曲线 Ω 于 P,Q。求证：直线 PQ 过定点 X(−1,0)。
来源：知乎
做法来自 @sumeragi693。
注意到 A,B 是 Ω,Γ 的公切点，于是 Ω(P)⩞A(M)⩞Γ(M)⩞B(M)⩞Ω(Q)，且 A,B 是不动点。
又易知这是一个对合，从而 PQ 必过 AB 的极点 X(−1,0)。
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双曲线 E:x2−y24=1 的一个顶点在直线 l:y=x+1 上。已知点 T 在 l 上，且过点 T 恰好可作双曲线 E 的两条切线，设这两条切线的切点分别为 P 和 M。设直线 TP 和直线 TM 分别与直线 x=−1 交于点 Q 和点 N，证明：直线 PN 和直线 MQ 的交点的定直线上。
来源：武汉市 2025 届高三年级二月调研考试
记左顶点为 A，PN∩MQ=R，PM 交 x=−3 于 S，TR∩PM=S′。
则由完全四边形的调和性可得 P,M;S′,S 成调和点列，故 S′ 在 S 的极线上。又由于 PM 是 T 的极线，所以 T 也在 S 的极线上。又由于 x=−1 切 E 于点 A，故 A 也在 S 的极线上，从而 S′,R,T,A 四点共线，即 R 在 l 上。
根据 @变强先变秃，这其实是 Brianchon 定理的一个例子。
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已知椭圆 C:x24+y23=1。已知直线 l0:x+2y−2=0 与椭圆交于 A,B 两点，过点 P(2,3) 的直线交椭圆 C 于 E,F 两点（E 在靠近 P 的一侧）。在直线 l0 上是否存在一定点 M，使 ∠EMA=∠FMA 恒成立？若存在，求出 M 点坐标；若不存在，请说明理由。
来源：湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学 2024 届高三高考考前数学测试卷
根据调和线束性质，该条件等价于 PM⊥l0。
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已知椭圆 G:x24+y23=1 的一个顶点为 A(−2,0)。设 O 为原点，直线 l 与椭圆 G 交于 C,D 两点（C,D 不是椭圆的顶点），l 与直线 x=2 交于点 E，直线 AC,AD 分别与直线 OE 交于点 M,N。求证：|OM|=|ON|。
来源：北京市西城区 2024 届高三下学期统一测试（一模）数学试卷
设直线 OE 为 l′，考虑 l′ 上的 N′ 使得 |OM|=|ON′|，则可得对合 l′(M)⊼l′(N′)，同时有 l′(M)⩞A(M)⩞G(C)，同理有 l′(N′)⩞A(N′)⩞G(D′)，故有对合 A(M)⊼A(N)。
同时，设 l′ 交 G 于 R,S，设 G 的右顶点为 B，注意到 A(R)⊼A(S),A(B)⊼A(B)，故 RS 与 BB 交于对合中心，与 E 重合。
从而 CD 与 CD′ 重合，D 与 D′ 重合，N 与 N′ 重合，故 |OM|=|ON|。